ধারা ও ক্রম । Series & Sequence

আমাদের মানসিক দক্ষতা যাচাইয়ের একটা অন্যতম প্রচলিত মাধ্যম হলো ধারা বা ক্রম থেকে প্রশ্ন করা। গণিত অলিম্পিয়াড, সামরিক বাহিনি এবং অন্যান্য সরকারি-বেসরকারি চাকুরির ভাইবা বা লিখিত পরিক্ষায় কিংবা, উচ্চ শিক্ষায় যাওয়ার জন্য জিয়ারই, জিম্যাট (GRE, GMAT) ইত্যাদি পরিক্ষায়ও ধারা বা ক্রম থেকে খুব সহজ কিছু প্রশ্ন দেওয়া হয়। এ সহজ প্রশ্নগুলোরই অনেক সময় আমরা ভুল উত্তর দিয়ে ফেলি। লেখাটি পড়লে নিচের প্রশ্নগুলো উত্তর পেয়ে যাবে -

👉এই ধারা ও ক্রম (Sequence & Series) কি?

👉ধারার ‘n’ তম পদ কিভাবে হিসাব করে বের করতে হয়?

👉ধারার ‘n’ সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

👉Convergent/Divergent সিরিজ কি?

👉অসীম ধারার সমষ্টি কিভাবে বের করতে হয়?

👉Sigma Notation (Σ) ব্যবহার করে কিভাবে ধারা (Series) কে লেখা যায়?


সহজ কথায়, কিছু সংখ্যাকে একটি নির্দিষ্ট প্যাটার্ন অনুসারে সাজালে এবং কমা দিয়ে আলাদা করে লিখলে যা হয় তাই হল গণিতের ভাষায় ক্রম (Sequence)। যেমন -

➝ 0, 2, 4, 6, 8, 10

➝ 2, 4, 8, 16, 32, 64

বুঝতেই পারছো সংখ্যাগুলো একটি প্যাটার্ন ফলো করছে। তুমি যদি এই প্যাটার্নটি ধরে ফেলতে পারো তাহলে কিন্তু এই ক্রমের পরবর্তী সংখ্যাটিও সহজে বের করে ফেলতে পারবে। প্রথম ক্ষেত্রে, 2 করে বাড়ছে তাই পরবরতী সংখ্যা হবে 10+2=12। এই ধরণের ক্রমকে আমরা বলি Arithmetic Sequence বা সমান্তর প্রগতি। Arithmetic Sequence তখনই হবে যখন পরপর যেকোনো দুটো সংখ্যার মাঝে একটি নির্দিষ্ট পার্থক্য (Common Difference) থাকবে। এটাকে আমরা বলব, ‘d’ (difference থেকে)। তাহলে কোনো ক্রমে,

d = next term - previous term

তাহলে এখান থেকে n তম সংখ্যাটি পাওয়ার সুত্র হচ্ছে -



এই সুত্র ব্যবহার করে ক্রমের 53 তম সংখ্যাটি বের করে ফেলি -



দ্বিতীয় ক্রমটি দেখা যাক এবার। এই ক্রমটিও একটি নির্দিষ্ট প্যাটার্ন কিন্তু ফলো করছে। একটি সংখ্যা তার আগের সংখ্যার দ্বিগুণ। তবে এখানে কিন্তু পার্থক্য আর আগেরমতো একই নেই। প্রথম দুটি সংখ্যার পার্থক্য (4-2) বা 2 কিন্তু, দ্বিতীয় ও তৃতীয় দুটি সংখ্যার পার্থক্য, (8-4) বা 4। অতএব, Common Difference কথাটি আর এখানে প্রযোজ্য নয়। এই ক্রমে Common Difference না থাকলেও একটি Common Ratio, r কিন্তু আছে। এরকম যেসকল ক্রমের পরপর দুটি সংখ্যার মধ্যে নির্দিষ্ট পার্থক্য নেই অথচ নির্দিষ্ট অনুপাত রয়েছে তাদেরকে বলা হয় Geometric Sequence বা গুণোত্তর প্রগতি। এই অনুপাত বের করার নিয়ম হলো -



আর n তম সংখ্যাটি পাবার সুত্র হলো -



এই সুত্র ব্যবহার করে ক্রমের পঞ্চম (n=5) সংখ্যাটি বের করে ফেলি -



যদি কোনো ক্রমের সংখ্যাগুলিকে কমা দিয়ে পাশাপাশি না লিখে (+) যোগ চিহ্ন দিয়ে পাশাপাশি লেখা হয় তাহলে তাকে আমরা বলবো ধারা (Series)।

Series ⇾ 3+6+9+12+15+18; Sequence ⇾ 3, 6, 9, 12, 15, 18

এতক্ষন যা জানলে তা থেকে এখন নিম্নোক্ত প্রশ্নের উত্তরগুলো বলতে পারবে-

🍥 ধারা বা ক্রম কি এবং কোনটা কিভাবে চিনবে?

🍥 সমান্তর প্রগতি (Arithmetic Progression) ও গুণোত্তর প্রগতি (Geometric Progression) কি এবং কিভাবে চিনবে?

🍥 কোনো ধারার n তম সংখ্যাটি কিভাবে বের করবে?

এবার, ধারার যোগফল সহজে বের করার নিয়ম শিখব। তবে তার আগে প্রসঙ্গক্রমেই জার্মান ম্যাথমেটিশিয়ান ও পদার্থবিদ কার্ল ফ্রেডরিক গাউসের একটি বিখ্যাত গল্প শুনবো।





গাউস যখন প্রাইমারি স্কুলে ছিলেন, উনার শিক্ষক একদিন ক্লাসে ছাত্রদেরকে ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল বের করতে বলেন। শিক্ষক ভেবেছিলেন ছাত্রদের অনেক সময় লাগবে করতে যেহেতু অনেকগুলো সংখ্যা যোগ করতে হবে। কিন্তু গাউস সেদিন ক্লাসের সবাইকে অবাক করে দিয়ে মাত্র কয়েক সেকেন্ডে উত্তর বলে দিলেন - ‘5050’। সবাই যখন গতবাধা নিয়েমে যোগ করায় ব্যস্ত, উনি তখন একটা প্যাটার্ন ধরে ফেললেন এবং টেকনিক্যালই প্রবলেম এপ্রোচ করলেন। ধরো, S হলো 1 থেকে 100 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর সমষ্টি। তাহলে,



একই S কে দুইবার দুইভাবে লেখা হয়েছে এখানে। একবার ascending order এ (মানের উর্ধ্বক্রমে) আর একবার descending order এ (মানের নিম্নক্রমে) সাজানো হয়েছে। সমীকরণ দুটোকে যোগ করে পাই -

হিসাবটা খুবই সহজ এবং মুখে মুখে করে ফেলার মতো। কিন্তু এভাবে চিন্তাই বা কয়জন করতে পারে? বিজ্ঞানীরা বা সব বিখ্যাত ব্যক্তিরাই এরকম ভিন্নভাবে চিন্তা করেন যা তাদেরকে খ্যাতি ও সফলতা এনে দিয়েছে। তাই যেকোনো সমস্যা দেখলে গতবাধা নিয়মে সলভ করার চেষ্টা না করে টেকনিক ও কমন সেন্স এপ্লাই করে আরো সুন্দর ভাবে সল্ভ করা যায় কিনা তা নিয়ে ভাবতে হবে। হয়তো তাহলে ইতিহাস তোমাকেও গাউসের মতো মনে রাখবে মৃত্যুর কয়েকশ বছর পরও!

খেয়াল করো এটা কিন্তু Arithmetic Series ছিল। তাহলে এই সহজ টেকনিক ব্যবহার করে তুমি যেকোনো সমান্তর প্রগমনের (Arithmetic Progression) এর n সংখ্যক টার্মের যোগফল বের করে ফেলতে পারবে! এটার একটা সহজ ফর্মুলাও আছে -



গাউসের সেই টেকনিক ব্যবহার করে এই ফর্মুলার প্রমাণ করবো এখন -

একটি Arithmetic Progression এ n সংখ্যক টার্ম এর সমষ্টি, 

এটা না বুঝে থাকলে, এই সমীকরণটিতে a=1, d=1 আর n=100 বসাও। তাহলেই কিন্তু, 1-100 পর্যন্ত সংখ্যার সমষ্টি পাবে। এভাবে যেকোনো সমান্তর প্রগমন বা Arithmetic Series এই উপরের সমীকরণ ব্যবহার করে লেখা যাবে। একই সমীকরণ এবার সেই গাউসের মত dscending order এ বা মানের নিম্নক্রম অনুসারে সাজিয়ে লিখি -



এবার, equation (i) এর প্রথম টার্ম ও equation (ii) এর প্রথম টার্ম যোগ করে পাই - a+(a+(n-1)d)=2a+(n-1)d; equation (i) এর দ্বিতীয় টার্ম ও equation (ii) এর দ্বিতীয় টার্ম যোগ করে পাই - (a+d)+(a+(n-2)d)=2a+(n-1)d; equation (i) এর তৃতীয় টার্ম ও equation (ii) এর তৃতীয় টার্ম যোগ করে পাই - (a+2d)+(a+(n-3)d)=2a+(n-1)d। এভাবে, যোগ করতে থাকলে সবসময় 2a+(n-1)d আসতেই থাকবে ঠিক যেমন 1-100 যোগ করার সময় বারবার 101 আসছিল। তাই equation (i) + equation (ii) থেকে পাই -




এবার গুনোত্তর প্রগতি বা (Geometric Progression) এর যোগফল বের করা শিখব। গুণোত্তর প্রগতির যোগফল বের করার সুত্র হলো -




তাহলে যদি প্রশ্ন করি নিচের Geometric Series এর প্রথম 40টি টার্মের যোগফল কত, নিশ্চই বের করে ফেলতে পারবে -

160-80+40-20+10-....

প্রথম কাজ হচ্ছে এটা Geometric Series বা গুণোত্তর প্রগতি কিনা তা খতিয়ে দেখা। এখানে একটা common ratio, r কিন্তু আছে -

সুতরাং, এটি একটি গুণোত্তর প্রগতি। এবার সূত্র প্রয়োগ করে পাই,



এবার অসীম ধারা বা Infinite Series সম্পর্কে জানবো এবং এই ধরণের Series এর যোগফল বের করা শিখব। নিচের দুটো ধারা লক্ষ করো -

❶    2+4+8+16+32+64+128+256+...

❷    1+12+14+18+116+132+164+1128+...

এই ধারা দুটিই অসীম ধারা। তবে, অসীম হলেও ধারা দুটির সমষ্টি বা যোগফল কিন্তু অসীম নয়। প্রথম ধারাটির ক্ষেত্রে যোগফল অসীম (Infinity ∞)। কারণ, সংখ্যাগুলো ধীরে ধীরে মানে দ্বিগুন করে বড় হচ্ছে। তাই এক সময় অসীম পর্যন্ত মান চলে যাবে। দ্বিতীয় ধারাটির সমষ্টি কিন্তু আবার অসীম নয়। দ্বিতীয় ধারাটিকে ভগ্নাংশ (fraction) এ না লিখে আমরা দশমিকে লিখে পাই -

1+0.5+0.25+0.125+0.0625+0.03125+0.01562+0.007812+...

∴ Sum ≅ 2

এভাবে, যেই অসীম ধারার সমষ্টি একটি নির্দিষ্ট মান ধারন করে সেগুলোকে বলা হয় Convergent Series। বিপরীতভাবে, প্রথম উদাহরণের মতো কোনো ধারার সমষ্টির মান যদি approximate না করা যায় তাহলে সেসব ধারাকে বলা হয় Divergent Series.

মনে রাখার উপায় - Converge এর অর্থ হলো একটি বিন্দুতে মিলিত হওয়া আর Diverge অর্থ হলো একটি বিন্দু থেকে ছড়িয়ে পরা।

Convergent/Divergent Series চেনার উপায় -

For Convergent Series common ratio, |r|<1

For Divergent Series common ratio, |r|>1

মিলিয়ে দেখো, প্রথম উদাহরণের ক্ষেত্রে |r|=2,∴ |r|>1। তাই এটি একটি Divergent Series। দ্বিতীয় উদাহরণের ক্ষেত্রে |r|=0.5,∴ |r|<1। তাই এটি একটি Convergent Series।

একটি Convergent geometric series এর infinity বা অসীম পর্যন্ত যোগফল বের করার সুত্র হলো -



সূত্রটি আসলে Geometric Progression এর মূল সুত্র থেকেই এসেছে।

 

এই সমীকরনে n এর মান অসীম (∞) বসালে  এর মান 0 হয়ে যায় যেহেতু, Convergent geometric series এ r এর মান 1 এর চেয়ে ছোট। (উদাহরণ -   )

Arithmetic & Geometric Progression বা সমান্তর ও গুণোত্তর প্রগতি বাদেও আরো কিছু Sequence বা Series আছে যেগুলোতে ঠিক কোনো common ratio/difference নেই তবে একটি প্যাটার্ন আছে। এমন কিছু common series এর n terms পর্যন্ত যোগ করার সুত্র নিচে প্রদত্ত হলো -


✳️ প্রথম n সংখ্যক সংখ্যার বর্গের যোগফল (Sum of the first n squares) -



✳️ প্রথম n সংখ্যক সংখ্যার ঘনফলের যোগফল (Sum of the first n cubes) -



Σ - যদি এই চিহ্ন বা নোটেশনের সাথে পরিচিত না থাকো তাহলে এখনি একে ভালভাবে চিনে নাও। কারণ, এই চিহ্নকে নিশ্চিতভাবেই ভবিষ্যতে অনেকবার দেখবে তুমি। চিহ্নটিকে Sigma notation বলে। লম্বা কোনো যোগফলকে খুবই সংক্ষেপে লেখার কৌশল এটি। উপরের ফর্মুলা দুটি দেখে হয়তো বুঝে গিয়েছো Sigma Notation এর কাজ কি। আরেকটু ভালোভাবে বুঝতে নিচের চিত্রটি দেখো - 

 

এখানে, k এর মান 1 থেকে n পর্যন্ত বাড়তে থাকবে এবং রাশি (expression) এ k এর মান প্রত্যেকবার বসিয়ে যোগ করতে হবে। এটাই Sigma Notation এর কাজ।