একটুখানি সমাবেশ | Basics of Combination

দুটো প্রশ্ন দিয়ে শুরু করা যাক -

১। ধর, তুমি তোমাদের এলাকায় ১০টি টিম নিয়ে একটি ফুটবল টুর্নামেন্ট আয়োজন করতে চাচ্ছো। যদি প্রথম রাউন্ডে প্রত্যেক টিম প্রত্যেকের বিপক্ষে একটি করে ম্যাচ খেলে এবং পয়েন্ট অনুযায়ী শীর্ষ চার টিম পরের রাউন্ডে সেমিফাইনাল খেলে এবং অবশেষে একটি ফাইনাল ম্যাচ অনুষ্ঠিত হয় তাহলে গোটা টুর্নামেন্টে মোট কয়টি ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবে?

২। মনে করো তুমি তোমার জন্মদিনের পার্টিতে ১৬ জন বন্ধুকে দাওয়াত দিলে এবং সবাই পার্টিতে এসে একে অন্যের সাথে হ্যান্ডশেক করল। বলতে পারবে মোট কয়টি হ্যান্ডশেক হয়েছিল তোমার সেই পার্টিতে?

Photo by Austin Distel on Unsplash

এই প্রশ্নগুলোর উত্তর দিতে হয়ত তোমার সমাবেশের জ্ঞান না থাকলেও চলবে, কিন্তু তোমাকে অনেক সময় ব্যয় করে হিসাব করতে হবে। আবার যদি টিমের সংখ্যা ৩০টি হতো বা সেই পার্টিতে গেস্টের সংখ্যা যদি ১৬ জনের জায়গায় ৫০ জন হত তাহলে কি খুব সহজে হিসাব করে ফেলা যেত?

এই ধরনের সমস্যা সমাধানে তুমি কিন্তু সমাবেশের কন্সেপ্টকে কাজে লাগিয়ে খুব দ্রুতই উত্তর বের করে ফেলতে পারবে। এবার সমস্যার সমাধানে আসা যাক।

সমাবেশ আসলে আমাদেরকে বলে দেয় যে n সংখ্যক জিনিস হতে r সংখ্যক জিনিস আমরা কত উপায়ে সিলেক্ট করতে পারি। প্রথম প্রশ্নের ক্ষেত্রে আমরা সহজেই বুঝতে পারছি যে সেমিফাইনাল এবং ফাইনাল মিলিয়ে মোট ৩টি ম্যাচ হবে। অতএব, আমরা যদি কোনভাবে এইটুকু জানতে পারি যে ১০টি টিম থেকে কত উপায়ে দুটি করে টিম সিলেক্ট করা যায় তাহলেই কিন্তু কাজ শেষ! শুধুমাত্র এই কাজটি করার জন্যই কিন্তু ম্যাথমেটিশিয়ানরা আলাদা একটি নোটেশন ব্যবহার করে থাকেন যেটা হল nCr। n×r যেরকম n এর সাথে r এর গুণ করা বোঝায় ঠিক অনেকটা সেরকমভাবেই nCr বলতে বোঝায় n সংখ্যক জিনিস হতে r সংখ্যক জিনিস কত উপায়ে সিলেক্ট করা যায়। তাহলে আমাদেরকে এখন স্বাভাবিকভাবেই 10C2 এর মান বের করতে হবে। মনে রাখবে, C সিম্বলটি কিন্তু ইংরেজিতে Combination বোঝাচ্ছে যার বাংলা হল সমাবেশ।

ক্যাল্কুলেটর ব্যবহার করে মান বের করতে হলে তোমার ক্যাল্কুলেটরে -

• 10 ইনপুট দাও
• Shift একবার চাপ দিয়ে nCrলেখা নিচের বাটনটি প্রেস করো
• এবার 2 ইনপুট দাও
• ‘=’ সাইনে প্রেস করো।

সবকিছু ঠিকমতো করে থাকলে উত্তর আসবে 45। তাহলে প্রথম রাউন্ডে হয়েছে 45টি ম্যাচ। অতএব, পুরো টুর্নামেন্টে হয়েছে 45+3 বা 48টি ম্যাচ।

অঙ্কটি ক্যাল্কুলেটর ছাড়া যদি হাতে করতে চাও তাহলে নিম্নোক্ত ফর্মুলাটি ব্যবহার করতে হবে তোমাকে -

হয়ত খেয়াল করেছ যে বিস্ময়সূচক একটি চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে এখানে। এটা আবার কি? এটাকে আমরা গণিতের ভাষায় ফ্যাক্টরিয়াল চিহ্ন বলি। চিহ্নটির কাজ নিচের কিছু উদাহরণ দেখলে পরিষ্কার হয়ে যাবে -



অর্থাৎ, কোনো সংখ্যার পরে এই ফ্যাক্টরিয়াল চিহ্ন বসা মানেই 1 থেকে শুরু করে ওই সংখ্যা পর্যন্ত প্রত্যেকটি পূর্ণসংখ্যার গুনফল। ফ্যাক্টরিয়াল এর ক্ষেত্রে একটি ব্যতিক্রম মনে রাখতে হবে আর সেটা হল 0!=1।

এখন সুত্রে প্রথম প্রশ্নটির মানগুলি বসিয়ে পাই -



সায়েন্টিফিক ক্যালকুলেটরে কিন্তু আবার সরাসরি ফ্যাক্টরিয়াল এর মান বের করার জন্য ‘x!’ চিহ্নিত করা আছে। একটু চেষ্টা করলেই খুজে ব্যবহার করতে পারবে। এখন, তোমার মনে প্রশ্ন জাগতে পারে যে কেনো এই 10C2 এর মান বের করলে আমরা উত্তর পেয়ে যাচ্ছি? আরেকটু গুছিয়ে প্রশ্নটা করলে, n সংখ্যক জিনিস হতে r সংখ্যক জিনিস মোট যত উপায়ে নেওয়া যায় তা কেনো nCr এর সমান হবে? এর উত্তরটা বুঝতে হলে তোমাকে আগে অবশ্যই বিন্যাস সম্পর্কে জানতে হবে। যদি না জানা থাকে এবং এই কেনোর উত্তর জানতেই চাও তাহলে আগে বিন্যাস নিয়ে লেখা আর্টিকেলটি নিচের লিঙ্কে ক্লিক করে পড়ে আসো -

বিন্যাসে হাতেখড়ি (নো-ব্রেইনার স্কুল)

আশা করি এবারে বিন্যাস সম্পর্কে বেশ ভালো ধারণা পেয়েছ। তাহলে সামনে এগোনো যাক।

Photo by Parker Burchfield on Unsplash

মনে কর, তুমি নতুন ৬টি ভিন্ন পোশাক কিনেছ তোমার ৩ জন বন্ধুকে গিফট করবে বলে। ধরে নাও, তোমার তিনজন বন্ধুদের নাম যথাক্রমে তালহা, জামী ও সানি। এখন, তালহাকে ৬টি থেকে যেকোনো ১টা পোশাক দিলে জামীকে দেওয়ার জন্য থাকবে ৫টি পোশাক। সেই ৫টি পোশাক থেকে আবার জামীকে যদি ১টা দিয়ে দাও তাহলে সানিকে তুমি অবশ্যই বাকি ৪টি থেকে ১টি পোশাক দিবে। অতএব, মোট 6×5×4 উপায়ে তুমি তাদেরকে গিফট করতে পারবে। এখন,

এখন তুমি যদি কত উপায়ে তাদেরকে গিফট দেওয়া যায় সেটা না ভেবে এটা চিন্তা কর যে, কত উপায়ে ৬টি পোশাক হতে ৩টি পোশাক গিফট করার জন্য সিলেক্ট করা যায় তাহলে কিন্তু ব্যাপারটা অন্যরকম হয়ে যায় এবং সমস্যাটি সমাবেশের আওতায় পড়ে যায় কেননা এক্ষেত্রে পোশাকের ক্রম গোনা হবে না। আরেকটু বুঝিয়ে বললে, যদি তোমার লাল, হলুদ, সাদা, নীল, কালো ও মেরুন রঙের পোশাক থেকে থাকে এক্ষেত্রে সমাবেশের সমস্যার ক্ষেত্রে তুমি যদি লাল, হলুদ, সাদা অথবা সাদা, হলুদ, লাল অথবা লাল, সাদা, হলুদ অথবা সাদা, লাল, হলুদ অথবা হলুদ, সাদা, লাল অথবা হলুদ, লাল, সাদা ক্রমে পোশাক সিলেক্ট কর তাহলে কিন্তু ১টিই কাউন্ট হবে কারন, সমাবেশের ক্ষেত্রে ক্রম কোনো ফ্যাক্টর না। কাকে কি রঙের পোশাক দিচ্ছ তা কিন্তু এক্ষেত্রে বিবেচনা করা হচ্ছে না, বিবেচনা করা হচ্ছে কোন তিনটা পোশাক তুমি গিফট করছ। তাহলে ৬টা পোশাক থেকে ৩টা পোশাক মোট যতরকমভাবে সাজানো সম্ভব অর্থাৎ, 6P3 থেকে তোমাকে এই নিজেদের মধ্যে ক্রম পরিবর্তন করে রিপিট হওয়া সংখ্যাকে বাদ দিতে হবে। সেটা করতে গিয়ে আমরা, বিন্যাস বা পারমিউটেশনকে একবারে যতগুলো জিনিস সিলেক্ট করছি তার ফ্যাক্টরিয়াল দিয়ে ভাগ করি (কারন, কোনো সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়াল আসলে বোঝায় ঐ সংখ্যক জিনিস নিজেদের মধ্যে কত উপায়ে সাজতে পারে) -



সামান্য একটু চিন্তা করে দেখলেই এখন কিন্তু তোমার পারমিউটেশন ও কম্বিনেশন বা বিন্যাস ও সমাবেশ সম্পর্কে বেসিক ধারণা হয়ে যাবার কথা। এখন সমাবেশের জটিল সব অঙ্ক সমাধানে তুমি প্রস্তুত!

আমার মনে হয় একেবারে শুরুতে যে দ্বিতীয় সমস্যাটি ছিল, তা তুমি নিজেই করে ফেলতে পারবে এখন। আগে নিজে নিজে চেষ্টা কর আর যদি না পারো তাহলে পরবরতী লাইনে প্রশ্নটির শহজ রূপ দেখে নাও -

১৬ জন গেস্ট থেকে কত উপায়ে ২ জনকে সিলেক্ট করা যায়? এতক্ষণে নিশ্চয়ই পেরে গিয়েছো!

এখন আসি সমাবেশের কিছু জটিলতর সমস্যায় -

মনে করো, একটি বহুভূজের ২০টি বাহু আছে। যদি প্রশ্ন করি ঐ বহুভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করে মোট কতটি ত্রিভুজ বানানো সম্ভব? ঐ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যাই বা কত?

সহজ উত্তর হল - 20C3 বা 1140টি ত্রিভুজ তৈরি করা সম্ভব এবং বহুভুজটির 20C2-20 বা 170টি কর্ণ আছে।

কিভাবে?

২০টি বাহুর বহুভুজের কথা না ভাবে সাধারণ চতুর্ভুজের কথা ভাবো যার শীর্ষগুলি A, B, C এবং D।

এক্ষেত্রে শীর্ষবিন্দুগুলি ব্যবহার করে ত্রিভুজ বানানো যাবে নিম্নোক্ত উপায়গুলিতে -

△ABC, △ACD, △CBD এবং △ABD

এখানে মূলত যেটি করা হয়েছে তা হল, চারটি বিন্দু থেকে তিনটি বিন্দু কত উপায়ে সিলেক্ট করা যায় সে উপায়গুলি দেখানো হয়েছে; এখানে 4C3 বা 4 উপায়ে সিলেক্ট করা যায়।

এবার, আসি কর্ণের হিসাবে। কর্ণ হল যেকোনো বহুভুজের বাহু ব্যতিত যেকোনো ২ বিন্দুর সংযোগ রেখা। চতুর্ভুজের চার বিন্দু হতে যতগুলো উপায়ে দুই বিন্দু সিলেক্ট করা যায় তা হলো 4C2 বা 6 -

AB, BC, CD, DA, AC, AD। কিন্তু, এখানে আবার চার বাহুও চলে এসেছে। তাই বাহু সংখ্যা বাদ দিলেই আমরা এখান থেকে কর্ণ সংখ্যা পেয়ে যাচ্ছি যা হলো 4C2-4=2।

এবার চতুর্ভুজের স্থলে অন্য যেকোনো বহুভুজ হলেও তুমি কিন্তু এ ধরনের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারবে। তাহলে এখন নিশ্চই বুঝতে পেরেছো।

আরো একটি সমস্যার কথা ভাবো,

ধর, তোমরা ৯ জন বন্ধু বেড়াতে যাবে। তোমাদের কাছে একটি মাইক্রো এবং একটি প্রাইভেট কার আছে। মাইক্রোতে ৮ জনের বেশি বসতে পারবে না এবং বাইকে ৩জনের বেশি বসতে পারবে না (আসলে নরমাল বাইকে ৩ জন বসাটাও ঠিক না! ধরে নাও হিন্দি গোলমাল সিনেমায় অজয় দেভগানের যেই লম্বাটে বাইক ছিল সেরকম একটা বাইক আছে তোমাদের কাছে!)। এখন বলতে পারবে কত উপায় তোমরা মাইক্রো ও বাইক এ দুই দলে ভাগ হতে পারবে?

অন্য সমস্যাগুলোর মত এটা একদম নো-ব্রেইনার না! কয়েকটি ধাপে সমস্যাটির সমাধান করতে হবে।

যদি ৩ জন বাইকে এবং বাকি ৬ জন মাইক্রোতে যেতে চাও তাহলে যত উপায়ে তোমরা দুই দলে ভাগ হতে পারবে তা হলো -

9C3=9C6=84

যদি ২ জন বাইকে এবং বাকি ৭ জন মাইক্রোতে যেতে চাও তাহলে যত উপায়ে তোমরা দুই দলে ভাগ হতে পারবে তা হলো -

9C2=9C7=36

এবং শেষমেশ, যদি ১ জন বাইকে এবং বাকি ৮ জন মাইক্রোতে যেতে চাও তাহলে যত উপায়ে তোমরা দুই দলে ভাগ হতে পারবে তা হলো -

9C1=9C8=9

তাহলে মোট 84+36+9 বা 129 উপায়ে তোমরা দুই দলে ভাগ হতে পারবে।

এই সমস্যাতে হয়তো একটা বিষয় খেয়াল করেছ - 



এই সমীকরণ এর বীজগাণিতিক প্রমান তুমি বিভিন্ন বইতে পাবে। কিন্তু একটু সহজ করে ভেবে দেখো, তোমার হাতে যদি ৯টি জিনিস থাকে এবং তা হতে তুমি কত উপায়ে ১টি জিনিস সিলেক্ট করতে পারবে? খুব সহজ, ৯ উপায়ে! একেকবার একেকটা নিবে এইতো! আবার যদি জিজ্ঞাসা করি, ঐ ৯টি জিনিস হতে তুমি কতভাবে ৮টি জিনিস সিলেক্ট করতে পারবে? এবারো সহজ, প্রত্যেকবার ১টি করে জিনিস বাদ রেখে বাকি ৮টি নিব। এভাবে ৯ বার ৯টি জিনিস বাদ রেখে বাকি ৮টি করে প্রতিবার নিব। অর্থাৎ, ৯টি ভিন্ন উপায়ে সিলেক্ট করা যাবে। এইতো তাহলে বুঝে ফেললে, কিভাবে 9C1=9C8 হয়। তাহলে এরকমভাবে, যেকোনো n বা r এর জন্যই nCr=nCn-r হবে।

শেষ একটি সমস্যা সমাধান করা যাক,

PROFESSOR শব্দটি হতে প্রত্যেকবার ৪টি লেটার নিয়ে কত ধরনের শব্দ তৈরি করা যায়? (উল্লেখ্য যে, এ সমস্যাটিতে বিন্যাস ও সমাবেশ দুটি বিষয়েরই কন্সেপ্টকে কাজে লাগাতে হবে)

শব্দটিতে কিন্তু R, S এবং O দুবার করে রিপিট হয়েছে। মোট লেটার হলো ৯টি যার মধ্যে ভিন্ন লেটার সংখ্যা ৬টি - P, R, O, F, E ও S। এখন ৪টি লেটার নিম্নোক্ত তিন উপায়ে তুমি সিলেক্ট করতে পারবে -

১। চারটি ভিন্ন লেটার নিয়ে, যেমন - P, R, O, F

২। দুটি ভিন্ন এবং দুটি অভিন্ন লেটার নিয়ে, যেমন - S, S, O, F

৩। দুই জোড়া অভিন্ন লেটার নিয়ে, যেমন - R, R, S, S

প্রথম ক্ষেত্রে, সিলেকশন সংখ্যা হবে 6C4। কারণ, তোমার কাছে ৬ ধরণের লেটার আছে যা থেকে তুমি ৪ টি সিলেক্ট করবে।
∴শব্দ সংখ্যা হবে - 

কারণ, ৪টি ভিন্ন লেটার সাজিয়ে মোট 4! বা ২৪টি শব্দ বানানো যায়। এভাবে 6C4 সংখ্যক বার তুমি ২৪টি করে শব্দ পাবে।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, সিলেকশন সংখ্যা হবে 3C1×5C2। কেননা, এখানে তুমি (R, R), (S, S), (O, O) এ তিন জোড়া রিপিট হওয়া লেটারগুলো থেকে ১ জোড়া সিলেক্ট করবে এবং অবশিষ্ট ৫টি লেটার হতে ২টি লেটার নিয়ে সাজাবে।

∴শব্দ সংখ্যা হবে - 

 

কারণ, ২টি একজাতীয় লেটার সহ ৪টি লেটার সাজালে মোট শব্দসংখ্যা হয় 4!2!বা ১২টি।

তৃতীয় ক্ষেত্রে, সিলেকশন সংখ্যা হবে 3C2। কেননা, এখানে তুমি (R, R), (S, S), (O, O) এ তিন জোড়া রিপিট হওয়া লেটারগুলো থেকে ২ জোড়া সিলেক্ট করবে।
∴শব্দ সংখ্যা হবে - 

কারণ, ২ জোড়া একজাতীয় লেটার সহ ৪টি লেটার সাজালে মোট শব্দসংখ্যা হয় 4!2!2!বা ৬টি।

সুতরাং, মোট সম্ভাব্য শব্দসংখ্যা হল 360+360+18=738।

লেখাটিতে সমাবেশ বা কম্বিনেশনের একেবারে বেসিক কিছু ধারণা দেওয়া হয়েছে এবং এই টপিক সংক্রান্ত কিছু গানিতিক সমস্যা নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। তোমার কোনো জিজ্ঞাসা বা সাজেশন বা মতামত থাকলে কমেন্ট করবে আর যদি ভালো লেগে থাকে তাহলে অবশ্যই শেয়ার করবে সহপাঠীদের সাথে। অন্য কোনো টপিকের উপর এ ধরণের আর্টিকেল পেতে অবশ্যই কমেন্টে টপিকের নাম উল্লেখ করবে।